《线性代数》教学大纲

一、课程的性质、目的与任务

线性代数是计算机科学与技术、网络工程和软件工程专业学生必修的专业基础课程。其任务是既要为各相关专业后继课程提供基本的数学工具，又要培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力。

线性代数是讨论有限维空间线性理论的一门学科，它的理论和问题的处理方法是许多非线性问题处理方法的基础，且广泛地应用于计算机科学和技术的各个领域中。本课程以线性方程组解的讨论为核心内容，介绍行列式、矩阵理论、向量的线性相关性、线性方程组、二次型的理论及其有关知识。通过本课程的教学，使学生掌握线性代数的基本概念，了解其基本理论和方法，从而使学生初步掌握线性代数的基本思想和方法，培养学生运用线性代数方法分析和解决实际问题的能力，也为离散数学和数值分析等后续课程提供数学工具和思维方式。

通过本课程的学习，要求学生达到：

1．掌握线性代数的基本概念、基本理论；

2．熟练掌握以下主要内容的基本方法：行列式计算、矩阵运算、求矩阵的逆矩阵和秩、解线性方程组、判断向量组的线性相关性、求向量组的秩和最大线性无关组、求矩阵的特征值和特征向量及相似对角形、正定二次型和正定矩阵的判断。

二、课程教学基本内容与要求

第一章 行列式

（一）基本内容

1.1 二阶与三阶行列式

1.2 全排列及其逆序数

1.3 n阶行列式的定义

1.4 对换

1.5 行列式的性质

1.6 行列式按行（列）展开

1.7 克莱默法则

（二）基本要求

教学目的：了解n元排列的逆序数，理解n阶行列式的定义；熟练掌握行列式的性质及按行（列）展开定理；熟练掌握n阶行列式常用的几种计算方法；理解克莱姆法则，会应用克莱姆法则解二、三元线性方程组；掌握n个未知量n个方程有解、无解的判断。

教学重点：行列式的概念、性质及计算；行列式的展开定理；克莱姆法则。

教学难点：代数余子式及性质；n阶行列式的计算。

第二章矩阵及其运算

（一）基本内容

2.1 矩阵

2.2 矩阵的运算

2.3 逆矩阵

2.4 矩阵分块法

（二）基本要求

教学目的：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算，以及它们的运算规律；了解单位矩阵、对角矩阵、三角形矩阵、对称矩阵，以及它们的性质；理解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件；了解分块矩阵的运算及其应用。

教学重点：矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算律；逆矩阵的概念和性质；用伴随矩阵法求逆矩阵。

教学难点：用伴随矩阵法求逆矩阵；分块矩阵的应用。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

（一）基本内容

3.1 矩阵的初等变换

3.2 矩阵的秩

3.3 线性方程组的解

（二）基本要求

教学目的：熟练掌握矩阵的初等变换；了解初等矩阵及其作用，知道初等矩阵的逆矩阵；熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和解矩阵方程；理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换法求矩阵的秩；掌握线性方程组有解的判定定理，熟练掌握用初等变换的方法求方程组通解的方法。

教学重点：矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩，用初等变换法求矩阵的秩和可逆矩阵的逆矩阵；线性方程组解的判定与求解。

教学难点：初等变换法求逆矩阵和解矩阵方程；初等变换法解线性方程组。

第四章向量组的线性相关性

（一）基本内容

4.1 向量组及其线性组合

4.2 向量组的线性相关性

4.3 向量组的秩

4.4 线性方程组的解的结构；

4.5 向量空间

（二）基本要求

教学目的：了解n维向量的概念，掌握n维向量的线性运算；了解线性方程组的一般形式、矩阵形式、向量形式；了解向量组的线性相关与线性无关，会判断一个向量组是否线性相关；熟练掌握用初等变换的方法求向量组的最大无关组及向量组的秩；了解齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构；理解方程组的基础解系的概念，掌握求线性方程组的结构解；了解向量空间及其基和维数的概念，了解向量的坐标的概念。

教学重点：向量组的线性相关与线性无关及其判断方法；向量组的最大线性无关组和向量组的秩；齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构；求齐次线性方程组解的基础解系。

教学难点：向量组的线性相关与线性无关的理解；向量空间的基。

第五章相似矩阵及二次型

（一）基本内容

5.1 向量内积、长度及正交性

5.2 方阵的特征值与特征向量

5.3 相似矩阵

5.4 对称矩阵的对角化

5.5 二次型及其标准形

5.6 用配方法化二次型成标准形

5.7 正定二次型

（二）基本要求

教学目的：理解矩阵的特征值与特征向量的概念，熟练掌握求特征值与特征向量的方法，了解特征值与特征向量的性质；理解相似矩阵的概念，了解相似矩阵的性质，掌握一个矩阵与对角矩阵相似的条件；了解向量内积与长度的概念和性质；了解正交向量组的概念，理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；掌握实对称矩阵化为对角矩阵的方法；理解二次型与二次型的矩阵的概念；掌握用拉格朗日配方法、正交变换法化二次型为标准形；理解正定二次型的定义与性质，会判断二次型及对称矩阵的正定性。

教学重点：矩阵的特征值和特征向量及其性质；相似矩阵和矩阵的相似对角化；正交矩阵及其在实对称矩阵化为对角矩阵过程中起的作用；二次型的概念，二次型化成标准形；二次型及对称矩阵的正定性判断。

教学难点：矩阵的特征值和特征向量及其性质；矩阵的相似对角化；二次型的正定性。

三、课程各章节学时分配

四、本课程课外学习与修学指导

线性代数不同于其它数学课程，对学生抽象思维能力有更高的要求。学习时，要认真阅读教材，最好能做课前预习，课后多做习题，多看习题解答，全面了解本课程的基本概念、基本理论和基本方法，并熟练掌握典型计算题和证明题的方法和步骤。

五、本课程考核方式及成绩评定标准

考核方式：闭卷考试。

成绩评定方法：本课程的考核是平时成绩（主要依据出勤和作业）和期终考试成绩相结合。具体比例为：上课出勤、作业占30%，期末考试成绩占70%。

期终考试总分100分，其中基础题占50%，中等难度题占40%，较难题占10%。考试题型主要有：选择题、填空题、解答题（计算和求解等）、证明题等。

六、教材及参考书

教材：工程数学《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社,2007.

主要参考书：

[1]《线性代数附册学习辅导与习题选解》（同济?第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社，2007.

[2]《线性代数》，吴赣昌，中国人民大学出版社，2006.

大纲撰写人：刘永逸

大纲审阅人：袁辉勇

教学副主任：易叶青

编写日期：2012.6